Demostración Georg Cantor dio esta sencilla y elegante demost | β Mathematica

Demostración

Georg Cantor dio esta sencilla y elegante demostración, utilizando el método de reducción al absurdo, para el intervalo [0,1], pero bien puede extenderse a todos los reales. A esta demostración se le conoce como argumento de la diagonal de Cantor.

Se supone que el intervalo [0,1] es infinito numerable.

En ese caso se podría elaborar una secuencia de los números, ( r1, r2, r3,... ).

Los reales entre 0 y 1 pueden ser representados solamente escribiendo sus decimales.

Se colocan los números en la lista (no necesariamente en orden). Considerando los decimales periódicos como 0.499... = 0.500..., esto es aplicable a números que tienen infinitos nueves.

La secuencia podría ser como la siguiente:

r1 = 0. 5 1 0 5 1 1 0...
r2 = 0. 4 1 3 2 0 4 3...
r3 = 0. 8 2 4 5 0 2 6...
r4 = 0. 2 3 3 0 1 2 6...
r5 = 0. 4 1 0 7 2 4 6...
r6 = 0. 9 9 3 7 8 3 8...
r7 = 0. 0 1 0 5 1 3 5...
...

Con esto se tienen todos los números reales entre 0 y 1. Ahora, construiremos un número x, que debería estar en la lista, usando los números de la diagonal (n-ésimo decimal de rn,en negritas).

r1 = 0. 5 1 0 5 1 1 0...
r2 = 0. 4 1 3 2 0 4 3...
r3 = 0. 8 2 4 5 0 2 6...
r4 = 0. 2 3 3 0 1 2 6...
r5 = 0. 4 1 0 7 2 4 6...
r6 = 0. 9 9 3 7 8 3 8...
r7 = 0. 0 1 0 5 1 3 5...
...

A estos números se les suma una unidad, y los valores obtenidos son los que se toman para construir x. Si la suma fuera 9+1=10 se toma el dígito cero únicamente. De tal manera que para este caso x=0.6251346...

Es evidente que x es real, pero ¿en qué lugar de la lista creada está?
Si estuviera en el n-ésimo lugar (x=rn), esto no sería verdad, ya que su n-ésimo decimal es diferente al de rn (es una unidad mayor, por la suma realizada).

Entonces ésta no es una lista completa de los reales en el intervalo [0,1].

Existe una contradicción, que nace de la premisa de suponer que estos números son infinitos numerables.

–Wikipedia